Zwischen Zahlen & Formeln
spielt die Musik!
Zwischen
Zahlen & Formeln
spielt die Musik!
Schwingungen
Die Harmonielehre als Grundlage der klassischen Musiktheorie hat ihren Ursprung in der Beobachtung von Schwingungen von Saiten in Saiteninstrumenten wie dem Klavier, der Geige oder der Gitarre. Schall breitet sich in Form einer Welle aus. Und genauso kann man die Bewegung einer in Schwingung gebrachten Saite in Wellenform beobachten.
Die Schwingung, mit welcher sich ein Ton im Raum ausbreitet, wird als Frequenz („f“) bezeichnet und entspricht der Schallgeschwindigkeit („c“) durch die Wellenlänge („λ“) und hat die Einheit „Hertz“ (oder „Hz“).
Frequenz (f) = Schallgeschwindigkeit (c) / Wellenlänge (λ)
Schwingt eine Saite mit der halben Wellenlänge (1/2), d.h. doppelten Frequenz, so entspricht dies genau der Differenz einer Oktave.
So wie Verhältnisse von Wellenlängen um ein Vielfaches von 1/2 (oder 2) vom menschlichen Ohr als besonders harmonisch wahrgenommen werden, so haben auch andere Vielfache der jeweiligen Wellenlänge (wie z.B. 1/3 bzw. 3 oder 1/5 bzw. 5 usw.) eine als besonders wahrgenommene Beziehung zur Grundfrequenz.
Beispielsweise entspricht eine Schwingung mit einem Drittel (1/3) der Wellenlänge der Grundfrequenz, d.h. der dreifachen Frequenz, einer „perfekten Quinte“ in der klassischen Musiktheorie.
(Quinten-)Stimmung
Das Grundprinzip des Quintenzirkels und des daraus entstehenden Systems ist, dass die Töne zueinander als so genannte „Quinten“ in einem bestimmten Verhältnis zueinanderstehen.
Man kann nun einmal das Klavier ausgehend vom „C“ so stimmen, dass alle anderen Tasten der jeweiligen perfekten Quinte ihres „Vorgängers“ entsprechen. Das heißt, vom jeweiligen Ausgangston wird die Frequenz immer weiter verdreifacht und jeweils durch Teilen um ein Vielfaches von Zwei auf die Oktave des Grundtons „C“ herabgesetzt.
| C | G | D | A | E | B | F#/Gb |
| 261,63 | 196,22 | 294,33 | 441,50 | 331,13 | 496,69 | 372,52 |
| … | C#/Db | G#/Ab | D#/Eb | A#/Bb | F | C |
| … | 279,39 | 419,08 | 314,31 | 471,47 | 353,60 | 265,20 |
| C | G | D | … | C |
| 261,63 | 196,22 | 294,33 | … | 265,20 |
Man sieht an dem Beispiel, dass der Grundton „C“, von welchem ausgehend der Quintenzirkel mit perfekten Quinten gestimmt wurde, nicht mit dem „C“ übereinstimmt, welches sich am Ende ausgehend von „F“ ergibt. Außerdem gibt es noch weitere praktische Probleme, da die Frequenz-Verhältnisse (abgesehen von der Quinte) nicht dem Ideal der Harmonielehre entsprechen.
Gleichstufige Stimmung
Aus der Praxis heraus hat sich in der westlichen Musiklehre aufgrund verschiedener Limitierungen anderer Stimmsysteme (wie am Beispiel der Quinten zu sehen) sozusagen als Kompromiss die „Gleichstufige Stimmung“ (engl. „Equal Temperament“) entwickelt und etabliert. Diese teilt die Frequenzen der einzelnen Tasten gleichmäßig auf.
Der Abstand („a“) zwischen zwei Frequenzen („fa“ und „fb“ ) kann in der logarithmischen Maßeinheit für musikalische Intervalle „Cents“ berechnet werden. In der Gleichstufigen Stimmung ist der Abstand zwischen zwei beliebigen aneinandergrenzenden Tasten immer einheitlich 100 Cents („ct“).
Abstand A→B (a) = 1200 * ( LOG10(Frequenz B (fb)) – LOG10(Frequenz A (fa)) ) / LOG10(2)
Abstand A→B (a) = 1200 / LOG10(2)
* ( LOG10(Frequency B (fb)) –
LOG10(Frequency A (fa)) )
* ( LOG10(Frequency B (fb)) –
LOG10(Frequency A (fa)) )
Hertz
Hertz
1200*(Math.log10([frequency_b])-Math.log10([frequency_a]))/Math.log10(2)
Cents
Eine Oktave entspricht einem Abstand von 1200 Cents bestehend aus 12 Halbtonschritten mit jeweils 100 Cents.
Die Gleichstufige Stimmung wird in der klassischen Musiktheorie üblicherweise so angepasst, dass das „A“ über dem Mittleren „C“ („A4“ ) einer Frequenz von 440 Hertz entspricht. Man bezeichnet diese Frequenz auch als den sogenannten „Kammerton“ (engl. „Concert Pitch“).
(Un)Perfekte Harmonien
Weder die Quintenstimmung noch die Gleichstufige Stimmung bilden die perfekten Schwingungsverhältnisse der einzelnen Saiten bzw. Noten ab, welche der Harmonielehre zugrundeliegen.
Im folgenden Kapitel, wird daher die „Reine“ Stimmung mit idealen Saitenverhältnissen näher beleuchtet.